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Intervista alla prof.ssa Ana Millán Gasca: consigli importanti per l'insegnamento della matematica

red - Di seguito viene riportata un’intervista ad Ana Millán Gasca, professore associato di Matematiche complementari presso l’Università Roma Tre.

Cosa l’ha spinta a scrivere, insieme al Prof. Israel, il suo testo “Pensare in matematica”?

Da alcuni anni tengo i corsi di Matematica e didattica della matematica del corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria presso l’università Roma Tre. Fino alla fine degli anni Novanta, per diventare insegnante nella scuola dell’infanzia e primaria in Italia si richiedeva un diploma magistrale, e quindi i corsi di matematica – molti di livello eccellente – erano comunque corsi di scuola secondaria.

Cosa proporre invece a studenti diplomati? La mia idea è sempre stata che non si potevano proporre ricette didattiche, e soprattutto non in maniera dogmatica, ma bisognava raggiungere una conoscenza dei temi della matematica elementare consapevole. Si pensi ai numeri naturali: a scuola, fino alle superiori, si da per assodato cosa sono questi numeri basandosi sull’intuizione, sul loro uso ordinario. Ma chi ha come compito di far riflettere sui numeri ai bambini può giovarsi delle indagini dei matematici stessi, che descrivono oggi questi numeri usando gli assiomi di Peano (non ha senso infatti che la matematica scolastica sia autoreferenziale, che non tenga presente come la matematica moderna considera i suoi concetti basilari!). Ma del numero si sono occupati anche gli antropologi, gli storici della scienza, i linguisti. L’università deve offrire questi elementi al futuro insegnante, per metterlo poi nelle condizioni di pensare autonomamente a come presentare i temi della matematica ai bambini, che esempi usare, quali e quanti esercizi proporre, ecc.

Ecco, quando i materiali accumulati erano già diventati tanti, l’idea naturale era quella di offrire un manuale universitario. Un libro per gli studenti che potesse rimanere nella propria libreria per continuare a studiare, ma con un’evidente attenzione per il pensiero infantile e per il ruolo, le difficoltà e le grandi opportunità della matematica a scuola. Un libro che potesse offrire ai colleghi che insegnano a Formazione Primaria materiali per poi costruire il proprio corso con un profilo culturale personale.

La responsabilità era molta e ho chiesto a Giorgio (Israel ndr), mio marito, di collaborare ancora una volta a questa impresa. È stato lui a volere a quel punto un libro rivolto anche a un lettore qualunque, interessato a conoscere meglio la matematica, includendo temi come l’analisi matematica o la matematica applicata.

Nel libro si da anche molto spazio alla geometria.

Infatti, un discorso analogo a quello fatto per i numeri si può fare per la geometria. Alle superiori si studia la geometria elementare. All’università si può entrare nella questione dell’origine della geometria, del suo ruolo nello sviluppo della scienza moderna, confrontare il vero testo di Euclide e il punto di vista assiomatico, che nei manuali delle superiori sono “fusi” perché entrambi hanno una loro validità. L’esperienza mi assicura che, sulla base di questa riflessione, i giovani studenti di formazione primaria sono in grado completamente da soli di inventare attività di geometria intuitiva: ma non penso a giochetti fine a sé stessi o a inutili schede sui cosiddetti “indicatori topologici” (“sopra”, “sotto”, ecc.), bensì a esercizi e problemi che sviluppano nei bambini la comprensione di concetti astratti come punto, retta, distanza, angolo, circonferenza, poligono regolare, simmetria, parallelismo … molto più solida di mille definizioni mandate a memoria.

Nel libro abbiamo anche scavato molto il rapporto strettissimo fra aritmetica e geometria mostrando al contempo che, anche se la matematica moderna è stata profondamente “aritmetizzata”, la geometria è irriducibile ai numeri e ha un ruolo essenziale nel pensiero matematico, oltre ad avere una straordinaria potenza formativa.

Quest’ultimo fatto dopo una fase di crisi negli anni Cinquanta-Sessanta, è oggi condiviso a livello internazionale, non per conformismo, ma per una profonda convinzione comune frutto dell’esperienza didattica.

Nel libro vi siete ispirati all’esperienza della Prof.ssa Emma Castelnuovo? In che misura?

Emma Castelnuovo ha scritto dei bellissimi manuali scolastici ed è stata una grande insegnante, che con il suo lavoro ha mostrato l’efficacia di un modo maieutico di insegnare la matematica, per problemi, che poggia fortemente sulla cultura dell’insegnante. Essa è erede di una grande tradizione culturale italiana, quella delle matematiche complementari, quel complesso di aspetti epistemologici, storici, didattici, psicologici che riguardano la matematica che ci aiutano a non dimenticare la sua radice nell’esperienza e nell’agire umano, il fatto che essa non è un corpus statico di teoremi e concetti ma una realtà dinamica, come lo è ogni manifestazione culturale. Studiare Federico Enriques, leggere i suoi manuali di geometria scritti con Ugo Amaldi, conoscere Giuseppe Peano e il suo collaboratore Riccardo Bettazzi sono stati per me fonte di grande ispirazione. Ma nel libro ci siamo giovati della riflessione del matematico francese Henri Poincaré, dei tedeschi Edmund Husserl e Richard Courant, delle idee didattiche del matematico ungherese George Polya. C’è stata una fase, fra la fine dell’Ottocento e l’inizio del Novecento, in cui i matematici europei hanno dispiegato un’enorme energia intellettuale riguardo alla questione della formazione in un mondo in cambiamento, anche lasciandosi interpellare dalla riflessione pedagogica (uno su tutti, Johann Pestalozzi). I frutti sono tutti a nostra disposizione per insegnare meglio.

Quali sono secondo lei le principali cause dell’insuccesso degli studenti in matematica?

Mi sono convinta che tutto si gioca proprio nei primissimi contatti dei bambini con la matematica. I bambini piccoli, da quando cominciano a muoversi con un po’ di autonomia e a dire le prime parole, sono affascinati sempre dal contare, dalle forme. Mostrano a questo riguardo curiosità e iniziativa. Quando arrivano nella scuola primaria vi è una forza intellettuale prorompente. Se si cerca di canalizzare questa energia proponendo idee, problemi, esperienze, per allargare i loro orizzonti, l’entusiasmo delle classi è oltre l’immaginabile, ognuno partecipa, maschi e femmine allo stesso modo, e si trova anche un terreno di dialogo persino con i compagni che non conoscono bene la lingua italiana.

Se invece i bambini scoprono che tutto si riduce a saper scrivere i numeri ed eseguire istruzioni, scatta subito la noia e il disinteresse. Matematica diventa il sinonimo di compiti senza senso e di tentare di indovinare ciò che la maestra o il maestro vogliono che io faccia, una vera tortura! Gli obbedienti eseguono, chi ha un carattere meno disciplinato si stacca dal gruppo. Dalla classe seconda in poi aumentano le defezioni, perché si scopre che matematica è memorizzare alcune definizioni di geometria che “non servono a niente” e le tabelline, indovinare l’operazione che bisogna fare quando ti danno un problema, e tentare di non sbagliare le divisioni in colonna. Rimane solo uno sparuto gruppo che, indefessamente, per conto proprio, rimane affascinato da ciò che riguarda i numeri o dalla definizione di rette parallele. Sono pochissimi e si dice che hanno il pallino della matematica.

Karen Fuson, la studiosa americana che ha descritto meravigliosamente le concezioni numeriche nei bambini da 2 a 8 anni, si interessò a questa fascia di età proprio dopo la sua esperienza in istituto di periferia a Chicago dopo la laurea: erano gli anni Sessanta e molti coetanei, professori alle prime arme animati dalla voglia di cambiare il mondo, gettarono subito la spugna; lei invece, forse perché nel frattempo era diventata madre, pensò: il fatto è che le superiori sono troppo tardi, bisogna intervenire prima, proprio all’inizio di tutto.

Quanto è importante il ruolo dei docenti di matematica nella scuola primaria?

È fondamentale, è insostituibile. È attraverso il dialogo che si desta l’interesse per i concetti aritmetici, geometrici o di probabilità. Ragionando si sente che essi sono rilevanti, e lo sono non tanto perché servono nella vita quotidiana, quanto perché riguardano noi come esseri umani, la nostra esperienza e la nostra mente che ci permette di allargare all’infinito il nostro sguardo. Il bambino si immedesima continuamente: sono una dottoressa; sono un operaio; sono tale personaggio. Ma vede sé stesso come essere umano, non si vede come un consumatore o come un cittadino. Ogni scoperta, ogni conoscenza e ogni riflessione di un bambino o di una bambina è quella di un uomo o una donna. A questo punto contare le stelle, disegnare cerchi diventa una cosa estremamente rilevante, in modi di un gioco che è però estremamente serio per loro, e quindi riconosciamo quel gioco che per Huizinga è l’origine della cultura stessa.

I concetti matematici elementari emergono poi in modo chiaro e distinto attraverso molti esempi ed esperienze: posso correre fra due punti segnati sul terreno, piegare un foglio di carta, osservare un raggio di luce, afferrare un righello e tracciare, tendere una corda che giaceva a terra tirando dai due estremi, misurare una distanza o un’altezza … è l’insegnante che propone e aiuta a stabilire il collegamento tra tutto questo e parla della retta e del segmento e del punto e poi propone un esercizio o un problema che riguarda segmenti uguali, rette che si intersecano, diagonali e raggi o altro. È lei o lui che pone domande e risponde a dubbi o aiuta con qualche suggerimento a superare un errore.

Insieme all’insegnante si apprende a concentrarsi nel lavoro individuale, a cooperare nel lavoro di gruppo, a saper partecipare ordinatamente ma senza timore a una discussione generale della classe su argomenti di matematica. È un allenamento importante per poi vivere serenamente il lavoro più impegnativo della scuola secondaria.

E quanto sono importanti i riscontri nella vita quotidiana?

Possiamo sfruttare a nostro vantaggio la presenza della matematica nella vita quotidiana in un paese come l’Italia. Ma pensate che non si possa insegnare matematica ai bambini in uno sperduto villaggio africano? D’altra parte, la matematica per la vita quotidiana si insegna da millenni, si insegnava ai bambini di Firenze nel Medioevo. Perché abbiamo questo desiderio di tornare alle scuole d’abaco (per dirla con un grande studioso di insegnamento della matematica, Florian Cajori, che citiamo in Pensare in matematica)? La matematica si presenta ai bambini – nella tradizione europea moderna che tutti seguono oggi – perché essa introduce al pensiero simbolico; perché essa progetta i giovani ai “compiti infiniti”, per dirla con Husserl, a quella “sospensione” della pratica dalla quale poi è scaturita la potenza trasformatrice, la potenza tecnica della scienza. Alle volte sembra che gli unici che non ci credono più sono proprio gli europei!

Nella scuola primaria è possibile, durante le lezioni di matematica, avvicinare i bambini ai mestieri e le professioni manuali e tecniche, proponendo esempi e problemi che riguardano il lavoro del sarto, del pittore, del geometra o del cuoco. Ma la scuola è quel momento di “sospensione” che nella cultura europea si è arrivati a garantire ad ogni bambino, quell’opportunità di pensare e slanciarsi e trovare quelle risposte che vengono dalla storia, dalla letteratura, dalla scienza.

Nella scuola secondaria si pone spesso, al prof di matematica, la domanda: a che serve? Ma cosa c’è dietro a questa domanda? Spesso vi sono lunghi anni di convivenza con una disciplina senza che nessuno abbia dato un significato ai suoi concetti. Al posto di problemi interessanti e di motivazioni storiche o collegamenti con le discipline scientifiche sono state proposte soltanto pagine e pagine di espressioni da risolvere e di decomposizioni in fattori primi.

Gli studenti del corso di laurea in Formazione Primaria sono spesso reduci da una brutta esperienza con la matematica. Dovrei illustrare con esempi l’uso della matematica nella vita quotidiana, oppure nella scienza, o nell’informatica, o nella logistica industriale? Un po’ certamente lo faccio. Ma è scavare i concetti della matematica, comprendere la loro origine nell’agire umano e i problemi cui essi danno risposta, la strada che permette quasi sempre di arrivare alla “riconciliazione”.

Pensa che l’approccio ludico, metodologia utilizzata in prevalenza nella scuola primaria, abbia un ruolo fondamentale nella didattica della matematica in tutti gli ordini di scuola?

Spesso dico ai miei studenti che non si tratta di far ingoiare ai bambini il boccone amaro della matematica accompagnandolo con un bicchiere d’aranciata, ossia un giochino o un disegno o una canzoncina. Gli enigmi scherzosi accompagnano l’insegnamento della matematica fin dal tempo dei babilonesi… ma non possiamo ridurre la matematica a enigmistica. È la matematica stessa che presenta componenti di gioco, proprio per quella sospensione dal quotidiano, per la presenza di regole da rispettare, per l’aspetto di sfida e competizione, per il coinvolgimento  e il rischio di perdere e il desiderio di riprovare, per la presenza di aspetti paradossali e sorprendenti.

Chi ha il gusto della matematica può riscontrare in un enunciato se esso presenta questi aspetti in qualche misura, oppure se è una pura procedura meccanica … Persino una divisione un po’ lunga può non essere mera procedura, perché si va avanti per approssimazioni ma si arriva a un risultato esatto, attraverso la ripetizione di passi intermedi che però non devono far perdere di vista lo scopo finale … che si può anche esprimere con una uguaglianza che serve anche a verificare.

Certo in un’espressione con parentesi graffe quadre e tonde e numeri periodici e frazionari dentro è un po’ difficile ritrovare una dimensione di gioco … Per non dire dei diagrammi di flusso che si obbliga a compilare ai bambini eliminando del tutto la componente di gioco della risoluzione dei problemi della scuola primaria … e si pensa di educare al pensiero e alla libertà di pensiero con uno schema che è stato escogitato per poter fare eseguire compiti automatici a un computer! Mi viene anche in mente la misura che divora il pensiero: prima le temute “equivalenze” fra unità di misura nella scuola primaria; poi la geometria ridotta a puri calcoli di misure nella scuola secondaria di primo grado, spesso senza neanche fare un disegno per mettere in moto l’intuizione. Segue poi la trigonometria nelle superiori in modo anch’esso troppo procedurale e meccanico.

Che importanza ha, a suo parere, lo studio della storia della matematica in tutti i cicli d’istruzione?

La storia ci permette di comprendere chi siamo anche nel campo della matematica. Le indagini storiche degli ultimi decenni, poi, ci hanno illuminato con tante scoperte. Si pensi alle ricerche archeologiche sui contrassegni numerici nel Vicino Oriente antico, a quelle sulle opere cinesi di matematica, sull’origine del calcolo infinitesimale, sul ruolo delle scienze matematiche nello sviluppo della ingegneria. Quando ho iniziato a insegnare nel corso di laurea in Formazione Primaria mi sembrava di imporre le mie preferenze parlando della storia, ma poi ho visto la sorpresa, l’interesse, “non mi avevano mai parlato della matematica così”. Poi ho visto che le tirocinanti, sapendo cose di storia, di fronte allo sguardo dei bambini – ai quali bisogna dare conto delle cose che vengono loro proposte – facevano ricorso a queste cose in modo spontaneo, e con i bambini funzionava a meraviglia… La storia da risposte sul perché esistono i concetti matematici e ciò che essi significano. Poi però bisogna vederli all’opera, metterli in moto attraverso i problemi di matematica.

A chi insegna, la storia offre elementi per valutare come introdurre i concetti, quali innovazioni apportare. Ad esempio, gli algoritmi in colonna sono una procedura che si insegna dal Medievo, ma l’importanza degli algoritmi nella matematica moderna li pone sotto una nuova luce. La divisione intera, per esempio, o gli arrotondamenti, introducono all’idea matematica di errore e approssimazione che sono importanti come l’idea di precisione, e che sono così importanti nell’analisi numerica. Nelle superiori la storia aiuta a districarsi nel tempo da assegnare ai vari temi che bisogna svolgere.

Cosa l’ha spinta, dopo i suoi studi di matematica, a occuparsi di storia della matematica?

Ho fatto l’università in Spagna negli anni in cui, dopo la fine della dittatura di Franco, andò al potere la sinistra, con Felipe González. La mia tesi di dottorato di ricerca riguardava l’opera geometrica di Julio Rey Pastor (1888-1960), una figura intellettuale di grande rilievo nel mondo scientifico in lingua spagnola, professore delle università di Madrid e di Buenos Aires. In Spagna, dopo la fine del franchismo, è ritornato fortemente il problema della diversità o estraneità della Spagna rispetto all’Europa – posto all’inizio del Novecento da Ortega y Gasset – e la domanda sulla “mancata” modernizzazione della Spagna, che sarebbe stata alla radice dell’esperienza drammatica della Guerra Civile (1936-39). Cercare risposte nella storia richiedeva anche comprendere se la scienza avesse trovato uno spazio nella società spagnola dell’Ottocento e i primi del Novecento. Alla generazione di Ortega y Gasset appartenevano molti scienziati spagnoli ben collegati alla ricerca europea del periodo, fra cui lo stesso Rey Pastor. Fra l’altro, i matematici spagnoli ebbero una predilezione per la cultura matematica italiana, proprio perché essa si presentava non solo come un insieme di ricerche di altissimo livello, ma anche come un’impresa culturale attenta al proprio ruolo nella formazione delle giovani generazioni, alla costruzione di un società aperta e al dialogo e alla divulgazione (ho citato prima diversi protagonisti di quel periodo, e basti pensare alla rivista «Scientia», la rivista internazionale di “sintesi scientifica” pubblicata per i tipi Zanichelli dal 1907).

Lo sviluppo della matematica applicata, il contributo degli scienziati allo sviluppo dei moderni stati liberali, sono argomenti affascinanti. Con Giorgio Israel ho scritto un libro sulla nascita della biologia matematica e una biografia di John von Neumann.

Cosa l’ha spinta a occuparsi dell’insegnamento della matematica?

Prima di interessarmi all’insegnamento, questi argomenti di ricerca storica mi hanno portato ad interessarmi ai modi per restituire la matematica e la scienza alla cultura. Certo, sono questioni collegate. La mancanza di vocazioni scientifiche nei ragazzi, e l’ostilità verso la matematica della maggioranza delle persone, legata ai ricordi scolastici, si spiegano anche perché si è “dimenticato” quanto la matematica e la scienza siano centrali nel pensiero europeo: la ricerca libera che non si pone confini pratici legati alle preoccupazioni della vita è alla base della tensione verso la libertà delle società europee e, anche se sembra paradossale, è anche alla base dei successi tecnologici che ora sono patrimonio dell’umanità intera.

Vi è un problema di comunicazione del quale però devono farsi carico anche gli scienziati. È una questione sulla quale ho molto riflettuto negli anni in cui lavoravo nella redazione della Enciclopedia Treccani diretta da Tullio Gregory. Vi era in quel contesto un’apertura culturale alla quale certo le scienze dovevano dare un contributo cercando di farsi comprendere. Molto spesso si chiede dal pubblico generale un’ammirazione senza riserve, e ogni movimento di opinione critico è bollato come “irrazionalismo” antiscientifico.

Per due anni, nello stesso periodo, ho insegnato nel Liceo spagnolo di Roma: tra gli allievi delle medie ho riscontrato che l’ammirazione e l’interesse nascono proprio dalla comprensione dei concetti matematici e scientifici. Un ragazzo molto giovane può comprendere bene il concetto di numero negativo perché in fondo esso ha le sue radici nella esperienza umana; eppure esso suscita meraviglia proprio per il carattere astratto, “fuori dal mondo” che emanano tali concetti.

Oltre al messaggio da lei lanciato nel libro, vorrebbe fornire ulteriori consigli ai docenti?

Per diversi anni ho insegnato come professore a contratto nella Scuola di specializzazione per l’insegnamento all’Aquila, tra i futuri docenti di matematica e scienze della scuola secondaria di primo grado, e ho sentito lo sgomento di fronte al compito di insegnare matematica nei laureati in biologia o scienze naturali. La mia idea di allora è quella che ispira il libro Pensare in matematica: il problema dell’insegnamento non è una questione “tecnica” ma culturale. La variabilità dei ragazzi, delle scuole, dell’atmosfera che si vive in un paese o in una città è enorme e ognuno deve prendere decisioni nella propria classe che sono imprevedibili. Conta avere fiducia nel senso del proprio compito, e approfondire sempre di più la propria preparazione culturale in campo matematico e scientifico (includendo ovviamente la storia e la filosofia della scienza). I professori di matematica possono attivare molte sinergie: con i professori di educazione tecnica nelle scuole secondarie di primo grado, con i professori di storia e di filosofia, con quelli delle materie scientifiche…

Certo, siamo di fronte a tentativi folli di togliere la responsabilità ai docenti, pilotando le loro lezioni dall’esterno, abbattendo i muri delle aule, affidando ad altri il compito della valutazione. Bisogna difendere la funzione dell’insegnante con le unghie e con i denti.

(intervista raccolta da Erasmo Modica)

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